
Cálculo Diferencial
Límites y Continuidad
Definición y notación de límite
Introducción a los límites
Notación de límites
Definición de límite
Entendiendo el límite
Estimar límites a partir de tablas
Aproximar límites por medio de tablas
Estimar límites a partir de tablas
Usar tablas para aproximar valores de límites
Límites unilaterales a partir de tablas
Estimar límites a partir de gráficas
Aproximar límites a partir de gráficas
Límites unilaterales a partir de gráficas
Límites no acotados
Asíntotas y ímites unilaterales
Estimación de límites a partir de gráficas
Lmites y gráficas
Definición formal de los límites (épsilon-delta)
Límites unilaterales a partir de tabla
La definición
ALgo intuitivo
Uso de la definición
Desarrollo del concepto
Propiedades de límites
Propiedades de límites
Límites de funciones compuestas
Límites de combinaciones de funciones
Límites de funciones compuestas
Cuando existe el límite de la función compuesta pero no existe el límite externo
Límites de funciones definidas por partes
Cuando existe el límite de la función compuesta pero no existe el límite interno o de la función interna
Límites por sustitución directa
Límites por sustitución directa
Límites de funciones definidas por partes
Límites indefinidos por sustitución directa
Límites de funciones trigonométricas
Límites de funciones por partes, el caso de la función valor absoluto
Límites por artificios (manejo algebraico)
Límites por medio de factorización
Límites por medio de racionalización
El límite de una función trigonométrica por medio de la identidad del ángulo doble
El límite de una función trigonométrica a través de identidades pitagóricas
Métodos y estrategias para encontrar límites
Estrategia para encontrar límites
Teorema del sándwich
Introducción al teorema de comparación (o del sándwich)
El límite de sin(x)/x cuando x tiende a 0
Límite de (1-cos(x))/x cuando x tiende a 0
Ejercicio de límites de funciones radicales por teorema del sandwich
Ejercicio de límites de funciones exponenciales po teorema del sandwich
Ejercicio de límites de funciones rracionales por teorema del sandwich
Continuidad en un punto
Continuidad en un punto
Ejercicio 2 de continuidad en un punto (gráficamente)
Ejercicio 3 de un punto donde una función no es continua, es discontinua
Ejercicio 1 de punto donde una función es discontinua
Continuidad en un intervalo
Continuidad en un intervalo
Funciones continuas en todos los números reales
Funciones continuas en valores particulares de x
Tipos de discontinuidades
Tipos de discontinuidades
Remover discontinuidades
Remover discontinuidades (por factorización)
Remover discontinuidades (por racionalización)
Ejercicio 1 de discontinuidades removibles
Ejercicio 2 de discontinuidades removibles
Ejercicio 3 de discontinuidades removibles
Teorema del valor medio
Teorema del valor medio
Justificación con el teorema del valor medio: ecuación
Ejercicio del teorema del valor medio en función polinomial
Ejercicios del teorema del valor medio
Ejemplo resuelto: utilizar el teorema del valor medio
Ejemplo del teorema del valor medio en una función con raíz cuadrada
Justificación con el teorema del valor medio por tabla
Relación de la derivada y el teorema del valor medio
Límites en infinito y asíntotas horizontales
Introducción a los límites al infinito
Límites al infinito y asíntotas horizontales
Límites al infinito de cuocientes
Ejercicio de límites al infinito de cuocientes
Límites no acotados de una función mixta
Límites al infinito y asíntotas gráficamente
Límites al infinito y asíntotas horizontales en funciones algebraicas
Ejercicio 2 de límites al infinito de cuocientes
Límites al infinito y asíntotas análisis algebraico
Ejercicio 3 de límites al infinito de cuocientes con raíz cuadrada
Límites no acotados de funciones racionales
Funciones con el mismo límite en infinito
Ejercicio de límites al infinito de funciones exponenciales
Ejercicio de límites al infinito de funciones trigonométricas
Ejercicio de límites al infinito de funciones cuadráticas
Límites en infinito y asíntotas verticales
Introducción a los límites en infinito
Límites al infinito y asíntotas verticales
Límites al infinito de cuocientes o funciones racionales y asíntotas verticales
Límites al infinito y asíntotas verticales en funciones algebraicas
Límites al infinito y asíntotas verticales en funciones racionales
Promedio vs. razón de cambio instantáneo
Newton, Leibniz y Usain Bolt
Repaso sobre la notación para la derivada
La derivada como concepto
La derivada como la pendiente de una curva
Rectas secantes y razones de cambio promedio
La derivada y las ecuaciones de la recta tangente
Definición de la derivada
La definición formal de la derivada como un límite
La forma formal y alternativa de la derivada
Ejercicio de la derivada como un límite
Ejercicio de la derivada partir de la expresión del límite
La derivada de x² en x=3 por medio de la definición formal
La derivada de x² en cualquier punto por medio de la definición formal
Encontrar ecuaciones de rectas tangentes usando la definición formal de límite
Derivabilidad y continuidad. Cuándo existe la derivada
Derivabilidad y continuidad
Derivabilidad en un punto: forma algebraica (la función no es diferenciable)
Derivabilidad en un punto: gráficamente
Diferenciabilidad en un punto por método algebraico (la función es diferenciable)
Prueba: diferenciabilidad implica continuidad
Derivación de funciones algebraicas u, v y w derivables de x
Derivada de una constante c
Derivada de u + v + w + ...
Derivada de (c·u)
Derivada del producto de funciones (uv)
Derivada de u/c
Derivada de c/u
Derivada de u/v
Derivada de x^n
Derivada de u^m
Aproximar o estimar derivadas por diferencial
Estimar derivadas
Combinar la propiedad de la potencia con otras propiedades de las derivadas
Derivación de polinomios
Derivarpotencias enteras (positivas y negativas mixtas)
Tangentes de polinomios
Derivadas de cos(x), sin(x), 𝑒ˣ y ln(x)
Derivadas de sin(x) y cos(x)
La derivada de 𝑒ˣ
Ejemplo resuelto: derivadas de sin(x) y cos(x)
La derivada de ln(x)
Cálculo de las derivadas de sin(x) y cos(x)
Demostración: La derivada de 𝑒ˣ es 𝑒ˣ
Demostración: la derivada de ln(x) es 1/x
Rectas secantes
La pendiente de una recta secante a una curva
Recta secante con diferencia arbitraria
Recta secante con diferencia arbitraria
Recta secante con punto arbitrario
Recta secante con punto arbitrario
Regla del producto
Regla del producto
Ejercicio de la propiedad del producto con una función dada explícitamente
Derivadas de productos de funciones
Demostración de la regla del producto
Ejercicio de la regla del producto con una tabla
Repaso sobre la regla del producto
Ejercicio de la propiedad del producto con una función dada implícitamente
Propiedad del cuociente
Propiedad del cuociente
Repaso sobre la propiedad del cuociente
Ejercicio de la propiedad del cuociente con una tabla
Diferenciar funciones racionales
La tangente a la curva (función) y=x/(2+x³)
Normal a y=x/x²
Derivadas de tan(x), cot(x), sec(x) y csc(x)
Derivadas de tan(x)
Derivadas de cot(x)
Derivadas de sec(x)
Derivadas de csc(x)
Derivadas de sen(x)
Derivadas de cosx)
Derivadas de funciones exponencisles
Calcular la derivada de eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)
Diferenciación de funciones exponenciales compuestas
Ejercicios de derivada de funciones exponenciales compuestas
Derivadas de funciones logarítmicas
Derivadas de funciones especiales
Demostraciones
Prueba: diferenciabilidad implica continuidad
Demostración de la regla de la potencia para la función de raíz cuadrada
Cálculo de la derivada de sin(x)
Justificación de la regla de la potencia
El límite de sin(x)/x cuando x tiende a 0
Cálculo de la derivada de cos(x)
Prueba de la regla de la potencia para potencias enteras positivas
Demostración de la regla del producto
Demostración de la regla del producto
Demostrar que si la función u es continua en x, entonces Δu→0 cuando Δx→0
Derivadas de funciones compuestas y aplicación de varias propiedades
Calcular la derivada de eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)
Aplicar varias reglas de la derivada a la vez
Aplicar la regla de la cadena y del producto
Aplicar la regla de la cadena y del cuociente
Derivar sen(Ln(x2)
Aplicación iterada de la regla de la cadena
Derivadas del producto de funciones
Propiedad de la derivada del producto de funciones
Derivada del producto de funciones dadas explícitamente
Ejercicio 1 de derivada del producto de funciones
Ejercicio 2 de derivada del producto de funciones
Derivada del producto de funciones dadas implícitamente
Demostración de la derivada del producto de funciones
Derivada enésima
Ejercicios resueltos de derivadas
Ejercicio resuelto d1: derivada de √(3x²-x) con la regla de la cadena
Ejercicio resuelto de derivada de log₄(x²+x) con la regla de la cadena
Ejercicio resuelto de derivada de logₐx (para cualquier base positiva a≠1)
Ejercicio resuelto de derivada de 7^(x²-x) con la regla de la cadena
Ejercicio resuelto de derivada de cos³(x) con la regla de la cadena
Ejercicio resuelto de derivada de ∜(x³+4x²+7) con la regla de la cadena
Ejercicio resuelto de derivada de sec(3π/(2 - x) con la regla de la cadena
Derivación o diferenciación implícita
Derivación implícita
Ejercicio de derivación implícita
Diferenciación implícita (ejemplo avanzado)
Ejemplo resuelto: evaluar la derivada con derivación implícita
Mostrar que la derivación explícita e implícita dan el mismo resultado
La derivada de ln(x) a partir de la derivada de 𝑒ˣ y la derivación implícita
Repaso de derivación implícita
Derivada de funciones inversas
Derivadas de funciones inversas 1
Derivadas de funciones inversas: a partir de una ecuación
Derivadas de funciones inversas: a partir de una tabla
Derivadas de funciones inversas 2
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Derivada de la inversa del senx
Derivada de la inversa de la tangente
Derivada de la inversa del coseno
Repaso de derivación de funciones trigonométricas inversas
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Ejercicicos de segunda derivada
Segunda derivada (ecuaciones implícitas)
Ejercicios de segunda derivada
Segunda derivada defunciones implícitas
Derivadas con artificios o manipulación algebraica
Ejercicio 1 de cálculo de derivadas con artificios
Ejercicio 4 de cálculo de derivadas con artificios
Ejercicio 2 de cálculo de derivadas con artificios
Estrategias de derivación de funciones
Ejercicio 3 de cálculo de derivadas con artificios
El significado de la derivada en contexto
Analizar problemas que involucran razones de cambio en contextos aplicados
Interpretar el significado de la derivada en contexto
Introducción a razones relacionadas: Aplicaciones de las derivadas
Movimiento en línea recta: posición, velocidad y aceleración por derivadas
Introducción al movimiento en una dimensión con cálculo
Interpretar cambios en la rapidez a partir de gráficas de velocidad contra tiempo
Interpretar la dirección del movimiento a partir de gráficas de posición contra tiempo
Interpretar la dirección del movimiento a partir de gráficas de velocidad contra tiempo
Ejercicio 1 de problemas de movimiento con derivadas
La distancia total recorrida con derivadas
Interpretar cambios en la rapidez a partir de gráficas de velocidad contra tiempo
Razones de cambio en otros contextos no relacionadas con el movimiento
Aplicaciones de las razones de cambio: olvido
Costo marginal y cálculo diferencial
Introducción a razones relacionadas
Introducción a las razones de cambio relacionadas
casos que involucran razones relacionadas
Análisis de razones relacionadas: ecuaciones trigonométricas
Ejercicicos de razones relacionadas
Razones relacionadas: globo
Análisis de razones relacionadas: expresiones
Estudio de razones relacionadas: ecuaciones (Pitágoras)
Aproximación con linealidad local
Razones de cambio relacionadas: agua en un cono
Razones de cambio relacionadas: escalera que cae
Razones relacionadas: sombra
Razones de cambio relacionadas: automóviles que se aproximan
Introducción a la derivación de funciones relacionadas
Ejercicio: derivar funciones relacionadas
Aproximación con linealidad local
Linealidad local
Linealidad local y diferenciabilidad
Ejemplo resuelto: aproximación con linealidad local
Aproximación lineal de una función racional
Regla de L’Hôpital
Introducción a la regla de L'Hôpital
Regla de L'Hôpital: ejercicio de límite en el infinito
La regla de L'Hôpital: ejemplo de límite en 0
La regla de L'Hôpital: despejar una variable
La regla de L'Hôpital: funciones exponenciales compuestas
La regla de L'Hôpital: funciones exponenciales compuestas
La regla de L'Hôpital (funciones exponenciales compuestas)
Repaso sobre la regla de L'Hôpital
Demostración de un caso especial de la regla de L'Hôpital
Regla de L’Hôpital
Introducción a la regla de L'Hôpital
Regla de L'Hôpital: ejercicio de límite en el infinito
La regla de L'Hôpital: ejemplo de límite en 0
La regla de L'Hôpital: despejar una variable
La regla de L'Hôpital: funciones exponenciales compuestas
Teorema de los valores extremos y puntos críticos: Analizar funciones
El teorema de los valores extremos
Introducción a los puntos críticos
Encontrar puntos críticos
Intervalos donde una función crece o decrece
Encontrar el intervalo donde decrece la función
Encontrar el intervalo donde crece una función dada su derivada
Repaso sobre intervalos donde una función crece o decrece
Extremos relativos (locales utilizando la primera derivada
Introducción a puntos máximos y mínimos
Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
Ejemplo 1. Analizar errores cuando encontramos extremos
Ejemplo 2. Analizar errores cuando encontramos extremos
Encontrar extremos relativos (criterio de la primera derivada)
Repaso sobre máximos y mínimos
Ejemplo resuelto: encontrar extremos relativos
Extremos absolutos (globales): Analizar funciones
Encontrar extremos absolutos en un intervalo cerrado
Máximos y mínimos absolutos (dominio completo)
Repaso de máximos y mínimos absolutos
Introducción a la concavidad y a los puntos de inflexión: Analizar funciones
Introducción a la concavidad
Analizar la concavidad (gráficamente)
Introducción a los puntos de inflexión
Puntos de inflexión (gráfico)
Analizar concavidad y puntos de inflexión: Analizar funciones
Puntos de inflexión (algebraico)
Errores al encontrar puntos de inflexión: no verificar los candidatos
Puntos de inflexión (algebraico)
Errores al encontrar puntos de inflexión: segunda derivada indefinida
Repaso sobre puntos de inflexión
Repaso sobre concavidad
Analizar la segunda derivada para encontrar puntos de inflexión
Uso del criterio de la segunda derivada para encontrar extremos de una función
Criterio de la segunda derivada
La derivada de una función y su gráfica
Dibujo de curvas con el uso del cálculo: polinomios
Dibujo de curvas con el uso de cálculo: logaritmo
Analizar una función con su derivada
Relacionar f, f' y f'': Analizar funciones
Justificación con base en cálculo para mostrar que una función es creciente
Justificación mediante la primera derivada
Justificación mediante la primera derivada
Puntos de inflexión a partir de gráficas de funciones y derivadas
Justificación mediante la segunda derivada: punto de inflexión
Justificación mediante la segunda derivada: punto de un máximo
Justificación mediante la segunda derivada
Conectar f, f' y f'' gráficamente
Ejemplo. Conectar f, f' y f'' gráficamente
Resolver problemas de optimización: Analizar funciones
Optimización: suma de cuadrados
Optimización: volumen de una caja (parte 1)
Optimización: volumen de una caja (parte 2)
Optimización: ganancia
Optimización: costo de materiales
Optimización: áreas de un triángulo y de un cuadrado (parte 1)
Optimización: áreas de un triángulo y de un cuadrado (parte 2)
Problemas de movimiento: encontrar la aceleración máxima
Analizar relaciones implícitas: Analizar funciones
Tangente horizontal a curva implícita