Derivadas para el Análisis de Funciones
Parte 1 de 2 · Valor medio, extremos y concavidad
Qué es el Teorema del Valor Medio (TVM)
El Teorema del Valor Medio es fundamental en el cálculo diferencial. En palabras simples, indica que si una función es continua y derivable en un intervalo, existe al menos un punto en ese intervalo donde la "velocidad instantánea" (la derivada coincide exactamente con la "velocidad promedio" del recorrido total.
Condiciones de aplicabilidad
Continuidad en [a,b] y derivabilidad en (a,b).
El Teorema de Rolle (el caso especial donde f(a) = f(b)).
Teorema del valor medio en una función polinomial
Poner en práctica el TVM requiere dominar diferentes tipos de álgebra. A continuación, aplicaremos la fórmula f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a) en distintos escenarios:
Teorema del valor medio en una función radical
Teorema del valor medio para f(x)=√x en [0, 9]
Ejeercicio 3 Teo del Valor Medio en fn racional
Teorema del valor medio para f(x)=1/x en [1, 3]
Máximos y mínimos de una función
Encontrar las "cimas y valles" de una curva es fundamental para entender el comportamiento de cualquier fenómeno. Un máximo es el punto más alto que alcanza la función (ya sea en toda su gráfica o en una región cercana), y un mínimo es el más bajo.
Extremos relativos vs. Extremos absolutos
¿Qué es un Punto Crítico y cómo encontrarlo (f'(x) = 0 o indefinida)?
Qué es un Punto Crítico y cómo encontrarlo
¿Qué es un Punto Crítico y cómo encontrarlo (f'(x) = 0 o indefinida)?
Aplicación a un Caso Real de un Máximo
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Medicina y farmacología. Determinar en qué momento exacto la concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente alcanza su punto máximo (máximo efecto) antes de que el cuerpo comience a eliminarlo.
Máximos y mínimos de una función
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¿Qué es un Punto Crítico y cómo encontrarlo (f'(x) = 0 o indefinida)?
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
¿Cómo sabemos si una función va "cuesta arriba" o "cuesta abajo" sin necesidad de graficarla? La primera derivada actúa como nuestra brújula. Si la derivada es positiva en un intervalo, la función original está creciendo. Si es negativa, está decreciendo.
Construcción de la tabla de signos
Tabla de signos de f′ en un modelo de ventas
Concavidad y puntos de inflexión
Mientras la primera derivada nos dice si subimos o bajamos, la segunda derivada nos dice cómo es la curva de ese camino. Si la forma es de "taza hacia arriba", es cóncava hacia arriba; si es de "taza hacia abajo", es cóncava hacia abajo. El punto exacto donde la curva cambia de una forma a otra se llama Punto de Inflexión.
Criterio de la segunda derivada para la concavidad
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Prueba de la Segunda Derivada para la concavidad (f''(x) > 0 vs f''(x) < 0).
Aplicación a Caso Real de Concavidad
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Epidemiología. Durante un brote de un virus, el número total de contagios siempre crece. Sin embargo, el "punto de inflexión" ocurre el día en que la velocidad de nuevos contagios deja de acelerar y comienza a frenar. ¡Ese es el día en que se "aplana la curva"!
Criterios de la Primera y Segunda Derivada para extremos
Existen dos herramientas (criterios) para confirmar si un punto crítico es un máximo o un mínimo:
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Criterios de la Primera Derivada
Criterio de la 1ª Derivada: Observamos el entorno. Si la pendiente pasa de positiva a negativa, cruzamos la cima de una montaña (máximo). Si pasa de negativa a positiva, cruzamos el fondo de un valle (mínimo).
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Criterios de la Segunda Derivada
Criterio de la 2ª Derivada: Es un método más rápido. Evaluamos el punto crítico en la segunda derivada. Si da positivo (cóncava hacia arriba), es un mínimo. Si da negativo (cóncava hacia abajo), es un máximo.