Álgebra Lineal
Determinantes
Símbolo y notación de un determinante
Determinante de una matriz A es |A|
Filas i y columnas j de un determinante
Determinante de segundo orden
Determinante de tercer orden
Propiedades de los determinantes
|AB| = |A| |B|
Resolución de determinantes por regla de Sarrus
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por determinantes
Regla de Cramer
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la matriz traspuesta de A
Matrices
Filas i y columnas j de una matriz
Matriz cuadrada y rectangular
Diagonal principal
Rango de una matriz
Matriz traspuesta
Matriz adjunta de A
Matriz inversa de A
Matriz triangular
Matriz identidad
Matrices similares
Menores y cofactores de una matriz
Sub-matriz de la matriz cuadrada A
Matriz suma
Teoremas de suma de matrices
Producto escalar de una matriz por una constante
Dependencia e independencia lineal
Combinaciones lineales y espacios
Sistemas de coordenadas alternativos
Matriz -A=(-1)A o inversa aditiva de A
Matriz triangular inferior
Matriz triangular superior
Matrices para resolver sistemas
Teoremas de suma y producto escalar de matrices
Vectores
Introducción a los vectores
Qué es un vector
Componente de un vector
Vector característico
Vector de posición
Vector Columna
Vector cero
Vector normalizado
Vector propio
Vector unitario
Producto punto (escalar)
Producto cruz (vectorial)
Vector tangente
Vector tangente unitario
Combinación lineal
Vector multiplicado po un escalar
Propiedades de los vectores
Propiedades de los vectores:
Para todo u, v, w en Fn y a, b, c en F se
cumple que:
1. Asociatividad de la suma
(u + v) + w = u + (v + w)
2. Conmutatividad de la suma
u + v = v + u
3. Identidad o neutro para la suma
u + 0 = 0 + u = u
4. Inversos para la suma
u + (-u) = (-u) + u = 0
u + v = v + u, v = -u
La operación suma en Fn es un Grupo conmutativo (o abeliano Si 1, 2, 3, 4 se cumplen)
Axiomas de Espacio vectorial son todos los anteriores desde el 1, 2, 3,..,8.
5. Distributividad para la suma escalar
(a + b)v = av + bv
6. Distributividad para la suma vectorial
a(u + v) = au + av
7. Identidad de producto escalar
1 · v = v · 1 = v
(1 es la identidad multiplicativa de un campo F y v un vector en Fn)
8. Compativilidad deproducto escalar
(ab)v = a(bv)
Bases vectoriales
Base canónica de vectores y matrices
Bases para un Subespacio
Cambio de base
Espacios y Subespacios vectoriales
Espacio vectorial V de Vectores sobre un campo F
Espacio vectorial V de Matrices sobre un campo F
Subespacios vectoriales
Si W es subespacio de V se cumple:
1. 0v = 0 ⍷ W
2. (-1)v = -v ⍷ W
3 Si V es subespacio de F y W es subespacio de V entonces W es un subespacio de F.
4. Si Wi y Wj son subespacios vectoriales de un espacio vectorial V, entonces Wi ∩ Wj también lo es
Espacio vectorial V de Funciones sobre un campo F
Espacio vectorial V de Polinomios sobre un campo F
Subespacio vectorial W o subespacio de V es un subconjunto no vacío W de V si:
1. u + v ⍷ W (Cerradura de la suma vectorial)
2. cv ⍷ W (Cerradura de la multiplicación por escalar)
Transformaciones de matrices
Funciones
Teoremas de Tansformaciones lineales
Epiyeccción de Tansformaciones lineales
Transformación de matrices
Ejercicio de mapeo con Tansformaciones lineales
Inyeccción de Tansformaciones lineales
Biyeccción de Tansformaciones lineales
Determinante de una matriz A es |A|
Ejercicios de Tansformaciones lineales
Determinante
Producto de matrices
Producto de matrices
Ejercicios de Producto de matrices
Regla del Producto
Productos notables de matrices
En matrices
(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
Si A y B conmutan entonces los productos notables de cuadrado del binomio y suma por diferencia coinciden con las correspondientes en un campo.
En matrices si A y B conmutan, entonces:
(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
(A+B)^2 = A^2 + 2BA + B^2
(A+B)(A-B) = A^2 - B^2
Conmutatividad de matrices
El Producto de matrices No es Conmutativo
El Producto AB o BA puede ser 0 sin que A = B = 0
Dos matrices A y B conmutan si AB = BA
Ejercicios de AB = BA
Enésima potencia de una matriz
Enésima potencia de una matriz cuadrada
A^n = A · A · A · ... · A, n veces por si misma.
Matriz Identidad neutro de la multiplicación
Comprobación que la matriz identidad actúa como neutro para la multiplicación de matrices
Producto de orden mxn · nxp = mxp
Producto de matrices Amxn · Bnxp = ABmxp
Asociatividad del producto de matrices
Asociatividad (AB)C = A(BC)
Producto de escalar y matriz
Producto por escalares
⍺(AB) = (⍺A)B = A(⍺B)
Distributividad con respecto a la suma
Distributividad con respecto a la suma
(A+B)C = AC + BC
D(A+B) = DA + DB
Equivalencia de potencias de matrices
A^n=A·A^(n-1)
Matrices invertibles o inversibles
Introducción a la invertibilidad de transformaciones lineales o matrices invertibles
Inverso multiplicativo de una matriz
No todas las matrices tienen inverso multiplicativo
Matriz invertible o no singular si AB = BA = I
I es la matriz Identidad
Si B es la matriz inversa de A => B = A¯1
Propiedades de las matrices invertibles
El inverso multiplicativo de A · B
(AB)¯1 = B¯1· A¯1
(AB)¯1 ≠ A¯1 · B¯1
Si An y Bn son invertibles, el producto de estas es invertible
Ejercicicios de matrices invertibles
Ejercicicios de matrices inversas
Bases o Sistemas de coordenadas alternativos
Cambio de base
Proyecciones ortogonales
Complementos ortogonales
Bases ortonormales y el método de Gram-Schmidt
Sistemas de coordenadas alternativos